Adhérence
Un réel a adhère à l'ensemble E ⊂ R si et seulement si tout intervalle ouvert centré en a possède une intersection non vide avec E.
a∈ adh E
⇔
∀r > 0 : ]a-r,a+r[ ∩ E ≠ Ø
L'ensemble des réels qui adhèrent à E est noté adh E (adhérence de E) ou encore .
adh E ={x∈R: x adhère à E}
adh Ø=Ø
adh R=R
adh [a,b]=adh]a,b[=adh[a,b[=adh]a,b[=[a,b]
le réel -2 adhère à l'ensemble E=[-2,5[
En effet, -2 ∈ E
-2 appartient à l'ensemble [-2,5[
∀r > 0 : -2 ∈ ]-2-r,-2+r [
-2 appartient à tout intervalle ouvert centré en lui-même
-2∈ ]-2-r,-2+r [ ∩ E
donc -2 appartient à l'intersection de l'intervalle ouvert et E
]-2-r,-2+r [ ∩ E ≠ Ø
et dès lors l'intersection est non vide
le réel 5 adhère à l'ensemble E=[-2,5[
montrons que ∀r > 0 : ]5-r,5+r [ ∩ [-2,5[ ≠Ø
en effet,
pour 0<r≤7,
] 5 - r, 5 + r [ ∩ [-2, 5[ =] 5 - r, 5[≠Ø
pour r>7,
] 5 - r, 5 + r [ ∩ [-2, 5[ =] -2, 5[≠Ø
Pour montrer qu'un réel a n'adhère pas à E, il suffit de trouver un intervalle ouvert centré en a qui possède une intersection vide avec E.
a∉ adh E
⇔
∃ r >0: ]a-r,a+r[ ∩ E = Ø
le réel -7 n'adhère pas à l'ensemble E=[-2,5[
En effet, prenons r=3:
]-7-3,-7+3 [=]-10,-4[
l'intervalle ouvert choisi est ]-10,-4[
et
]-10,-4[ ∩ [-2,5[ = Ø
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