Adhérence

Un réel a adhère à l'ensemble E ⊂ R si et seulement si tout intervalle ouvert centré en a possède une intersection non vide avec E.

a∈ adh E

∀r > 0 :  ]a-r,a+r[ ∩ E ≠ Ø

L'ensemble des réels qui adhèrent à E est noté adh E (adhérence de E) ou encore "adherence_1.gif".
adh E ={x∈R: x adhère à E}

adh Ø=Ø
adh R=R
adh [a,b]=adh]a,b[=adh[a,b[=adh]a,b[=[a,b]

le réel -2 adhère à l'ensemble E=[-2,5[

En effet,     -2 ∈ E
                -2 appartient à l'ensemble [-2,5[
        ∀r > 0 :  -2 ∈ ]-2-r,-2+r [
                -2 appartient à tout intervalle ouvert centré en lui-même
        -2∈  ]-2-r,-2+r [ ∩ E
                donc -2 appartient à l'intersection de l'intervalle ouvert et E
         ]-2-r,-2+r [ ∩ E ≠ Ø
                et dès lors l'intersection est non vide

le réel 5 adhère à l'ensemble E=[-2,5[

montrons que        ∀r > 0 :  ]5-r,5+r [ ∩ [-2,5[ ≠Ø

en effet,
pour 0<r≤7,
        ] 5 - r, 5 + r [ ∩ [-2, 5[ =] 5 - r, 5[≠Ø
pour r>7,
        ] 5 - r, 5 + r [ ∩ [-2, 5[ =] -2, 5[≠Ø

Pour montrer qu'un réel a n'adhère pas à E, il suffit de trouver un intervalle ouvert centré en a qui possède une intersection vide avec E.

a∉ adh E

∃ r >0: ]a-r,a+r[ ∩ E = Ø

le réel -7 n'adhère pas à l'ensemble E=[-2,5[

En effet, prenons r=3:
        ]-7-3,-7+3 [=]-10,-4[
            l'intervalle ouvert choisi est ]-10,-4[
et
        ]-10,-4[  ∩ [-2,5[ = Ø

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