Notions de base sur les fonctions

1. Domaine de définition

Définition : soit f, une fonction réelle

dom f = {x ∈ R : f(x) ∈ R }

Déterminer le domaine de définition, c'est trouver les réels x qui ont une image par f, c'est-à-dire pour lesquels on sait calculer f(x)
(pour lesquels f(x) est un réel).

Pour cela, il suffit de résoudre les conditions d'existence.
Les 2 types de conditions rencontrées en ce début de cours correspondent à deux opérations impossibles dans les réels:

- La division par 0
Dans R, il est impossible de diviser par 0. Peux-tu expliquer pourquoi?
Calculer le quotient "index_1.gif" est effectivement impossible dans l'ensemble des réels.
Donc, si une fonction comporte un dénominateur, il faut que ce dernier soit différent de 0.

exemple:    f(x) = "index_2.gif"
    CE:  "index_3.gif"   c'est-à-dire   x ≠ 1 et x ≠ -"index_4.gif"
    le domaine est donc
    Dom f = R \ {-"index_5.gif" , 1}
    

- La racine carrée d'un nombre négatif
Dans R, il est impossible de calculer la racine d'un nombre négatif. Peux-tu expliquer pourquoi?
Calculer par exemple "index_6.gif" est impossible dans l'ensemble des réels.
Donc, si une fonction comporte une racine carrée, il faut que le radicand (l'expression sous la racine) soit positif.

exemple:    f(x) = "index_7.gif"
    CE:  5-7x ≥ 0   c'est-à-dire   x ≤ "index_8.gif"
    le domaine est donc
    Dom f = ← , "index_9.gif"]
    

Si la racine carrée se trouve être également le dénominateur, alors le radicant doit être à la fois différent de 0 et positif, donc strictement positif.

exemple:    f(x) = "index_10.gif"
    CE:  2x+ 6 > 0   c'est-à-dire   x > -3

    le domaine est donc
    Dom f = ] -3,→
        

D'une manière plus générale, si l'on considère une racine nième  "index_11.gif" où n est un naturel >1 et  un réel quelconque,
    - si n est pair , "index_12.gif" est un réel si f ≥ 0
    - si n est impair , "index_13.gif" est un réel quel que soit le réel f

Exercices - Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes (exercices supplémentaires)

"index_14.gif"

"index_15.gif"

"index_16.gif"

"index_17.gif"

"index_18.gif"

"index_19.gif"

"index_20.gif"

"index_21.gif"

"index_22.gif"

"index_23.gif"

Exercices supplémentaires


Created by Wolfram Mathematica 6.0  (25 September 2007)
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